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若钝角三角形三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m,则m的范围是(  )
A、(1,2)B、(2,+∞)C、[3,+∞)D、(3,+∞)
分析:设三个角分别为
π
3
-A,
π
3
π
3
+A,由正弦定理可得m=
c
a
=
sin( 
π
3
+A )
sin(
π
3
-A)
,利用两角和差的正弦公式化为
3
+tanA
3
-tanA
,利用单调性求出它的值域.
解答:解:钝角三角形三内角A、B、C的度数成等差数列,则B=
π
3
,A+C=
3

可设三个角分别为
π
3
-A,
π
3
π
3
+A.
故m=
c
a
=
sin( 
π
3
+A )
sin(
π
3
-A)
=
3
2
cosA+
1
2
sinA
3
2
cosA - 
1
2
sinA
=
3
+tanA
3
-tanA

π
6
<A<
π
3
,∴
3
3
<tanA<
3
.令 t=tanA,且
3
3
<t<
3

则 m=
3
+t
3
-t
 在[
3
3
3
]上是增函数,∴+∞>m>2,
故选B.
点评:本题考查正弦定理、两角和差的正弦公式,利用单调性求函数的值域,得到m=
sin( 
π
3
+A )
sin(
π
3
-A)
,是解题的关键和难点.
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