Question

在△ABC中，三内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B=60°，c=(

3

-1)a．
（1）求角C的大小；
（2）已知当x∈R时，函数f（x）=sinx（cosx+asinx）的最大值为1，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由题意A=120°-C，代入sinC=(

3

-1)sinA得sinC=(

3

-1)sin(120°-C)展开求C
（2）利用恒等变换公式对f（x）=sinx（cosx+asinx）化简得到f（x）=

a

2

+

1+a2

2

sin（2x-θ），再由最大值为1，建立方程求出a

解答：解：（1）由题意若B=60°，c=(

3

-1)a，可变为sinC=(

3

-1)sinA，即sinC=(

3

-1)sin(120°-C)
∴sinC=(

3?

-1)(

3

2

cosC+

1

2

sinC)
整理得

3- 3

2

sinC=

3- 3

2

cosC
可得tanC=1，C=

π

4

（2）f（x）=sinx（cosx+asinx）=

1

2

sin2x+

a

2

（1-cos2x）=

a

2

+

1+a2

2

sin（2x-θ），tanθ=a
∵函数f（x）=sinx（cosx+asinx）的最大值为1
∴

a

2

+

1+a2

2

=1，
∴a+

1+a2

=2，解得a=

3

4

点评：本题考查三角函数的最值，解题的关键是把三角函数的解析式转化为函数y=Asin（ωx+φ）的形式，再由三角函数的性质确定函数的最值，此类题一般有两种类型，一是求最值，一是由最值求参数，本题是第二类．