Question

（2011•广东模拟）已知线段AB的两个端点分别为A（0，1），B（1，0），P（x，y）为线段AB上不与端点重合的一个动点，则(x+

1

x

)(y+

1

y

)的最小值为

25

4

．

Answer 1

分析：由题意可得 x+y=1，故  0＜xy≤

1

4

，故化简可得  (x+

1

x

)(y+

1

y

)=

(xy-1)2+1

xy

，故 当xy取
最大值

1

4

 时，所求的式子取最小值．

解答：解：由题意可得 x+y=1，x＞0，y＞0，∴x+y=1≥2

xy

，∴0＜xy≤

1

4

，
∴(x+

1

x

)(y+

1

y

)=

(xy)2+x2+y2+1

xy

=

(xy)2+(1-2xy) +1

xy

=

(xy-1)2+1

xy

，
∴当xy取最大值

1

4

 时，

(xy-1)2+1

xy

的分子最小且分母最大，故式子取最小值为

25

4

，
故答案为：

25

4

．

点评：本题考查基本不等式的应用，式子的变形，是解题的难点和关键．