Question

【题目】已知函数f（x）=mln（x+1），g（x）= （x＞﹣1）．
（Ⅰ）讨论函数F（x）=f（x）﹣g（x）在（﹣1，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若y=f（x）与y=g（x）的图象有且仅有一条公切线，试求实数m的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）F′（x）=f′（x）﹣g′（x） = ﹣ = （x＞﹣1），
当m≤0时，F′（x）＜0，函数F（x）在（﹣1，+∞）上单调递减；
当m＞0时，令F′（x）＜0，可得x＜﹣1+ ，函数F（x）在（﹣1，﹣1+ ）上单调递减；
F′（x）＞0，可得＞﹣1+ ，函数F（x）在（﹣1+ ，+∞）上单调递增．
综上所述，当m≤0时，F（x）的减区间是（﹣1，+∞）；
当m＞0时，F（x）的减区间是（﹣1，﹣1+ ），
增区间是（﹣1+ ，+∞）
（Ⅱ）函数f（x）=mln（x+1）在点（a，mln（a+1））处的切线方程为y﹣mln（a+1）= （x﹣a），
即y= x+mln（a+1）﹣ ，
函数g（x）= 在点（b， ）处的切线方程为y﹣ = （x﹣b），
即y= x+ ．
y=f（x）与y=g（x）的图象有且仅有一条公切线
所以 = （1），mln（a+1）﹣ = （2），
有唯一一对（a，b）满足这个方程组，且m＞0
由（1）得：a+1=m（b+1）2代入（2）消去a，整理得：
2mln（b+1）+ +mlnm﹣m﹣1=0，关于b（b＞﹣1）的方程有唯一解
令t（b）=2mln（b+1）+ +mlnm﹣m﹣1，
t′（b）= ﹣ = ，
方程组有解时，m＞0，所以t（b）在（﹣1，﹣1+ ）单调递减，在（﹣1+ ，+∞）上单调递增．
所以t（b）min=t（（﹣1+ ）=m﹣mlnm﹣1．
由b→+∞，t（b）→+∞；b→﹣1，t（b）→+∞，
只需m﹣mlnm﹣1=0
令u（m）=m﹣mlnm﹣1，u′（m）=﹣lnm在m＞0为单减函数，
且m=1时，u′（m）=0，即u（m）min=u（1）=0，
所以m=1时，关于b的方程2mln（b+1）+ +mlnm﹣m﹣1=0有唯一解．
此时a=b=0，公切线方程为y=x
【解析】（Ⅰ）求得F（x）的导数，讨论当m≤0时，当m＞0时，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意定义域；（Ⅱ）分别求出f（x），g（x）在切点处的斜率和切线方程，化为斜截式，可得y=f（x）与y=g（x）的图象有且仅有一条公切线等价为 = （1），mln（a+1）﹣ = （2），有唯一一对（a，b）满足这个方程组，且m＞0，消去a，得到b的方程，构造函数，求出导数和单调性，得到最值，即可得到a=b=0，公切线方程为y=x．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．