Question

在直角△ABC中，两直角边的长分别为a，b，直角顶点C到斜边的距离为h，则易证

1

h2

=

1

a2

+

1

b2

．在四面体SABC中，侧棱SA，SB，SC两两垂直，SA=a，SB=b，SC=c，点S到平面ABC的距离为h，类比上述结论，写出h与a，b，c的等式关系并证明．

Answer 1

分析：本题考查的知识点是类比推理，在由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．

解答：解：类比得到：

1

h2

=

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

过S作△ABC所在平面的垂线，垂足为O，
连接CO并延长交AB于D，连接SD，
∵SO⊥平面ABC，
∴SO⊥AB
∵SC⊥SA，SC⊥SB，
∴SC⊥平面SAB，
∴SC⊥AB，SC⊥SD，
∴AB⊥平面SCD，
∴AB⊥SD
在Rt△ABS中，有

1

SD2

=

1

a2

+

1

b2

在Rt△CDS中，有

1

h2

=

1

SD2

+

1

c2

=

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

．

点评：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．（3）对猜想的结论进行论证．