Question

【题目】已知△ABC三个顶点坐标分别为：A（1，0），B（1，4），C（3，2），直线l经过点（0，4）．
（1）求△ABC外接圆⊙M的方程；
（2）若直线l与⊙M相交于P，Q两点，且|PQ|=2 ，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：解法1：设⊙M的方程为：x2+y2+Dx+Ey+F=0，

则由题意得 ，解得 ，

∴⊙M的方程为x2+y2﹣2x﹣4y+1=0，或（x﹣1）2+（y﹣2）2=4

解法2：∵A（1，0），B（1，4）的横坐标相同，故可设M（m，2），

由MA2=MC2得（m﹣1）2+4=（m﹣3）2，解得m=1

∴⊙M的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，或x2+y2﹣2x﹣4y+1=0

解法3：∵A（1，0），B（1，4），C（3，2），∴ ，

∴ ，则△ACB是等腰直角三角形，

因而△ACB圆心为（1，2），半径为2，

∴⊙M的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4

（2）解：当直线l与x轴垂直时，l方程为x=0，它截⊙M得弦长恰为2

当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+4

∵圆心到直线y=kx+4的距离d=

由勾股定理得 ，解得

故直线l的方程为x=0或3x+4y﹣16=0

【解析】（1）解法1：设⊙M的方程为一般式，根据条件列出方程组，求解后即可求出⊙M的方程；解法2：根据A（1，0），B（1，4）的横坐标相同设M（m，2），由半径相等和两点之间的距离公式列出方程求出m，可得⊙M的方程；解法3：由向量的坐标运算求出 ，由向量的数量积运算求出 和模，判断出△ACB是等腰直角三角形，由直角三角形外接圆的性质求出⊙M的方程；（2）对直线l的斜率存在问题分类讨论，根据点到直线的距离公式和弦长公式列出方程，求出直线的斜率，即可得到直线方程．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用圆的一般方程的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握圆的一般方程的特点：(1)①x2和y2的系数相同，不等于0．②没有xy这样的二次项；(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了；(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显．