Question

下列命题正确的序号为

①③④

．
①若等差数列{a_n}前n项和为S_n，则三点（10，

S10

10

）、（100，

S100

100

）、（110、

S110

110

）共线；
②若数列{a_n}为等比数列，则数列{log₂a_n}为等差数列；
③等比数列{a_n}的前n项和Sn=2n+a，则a=-1；
④若数列{a_n}前n项和S_n满足S_n+1=a₁+qS_n（其中常数a₁q≠0），则{a_n}是等比数列．

Answer 1

分析：利用等差数列与等比数列的概念、求和公式可判断①②③④四个命题的正误．

解答：解：①∵等差数列{a_n}前n项和为S_n，=na₁+

n(n-1)d

2

，
∴

Sn

n

=（a₁-

d

2

）+

d

2

n，
∴数列{

Sn

n

}关于n的一次函数（d≠0）或常函数（d=0），故（10，

S10

10

）、（100，

S100

100

）、（110、

S110

110

）共线，正确；
②不妨令a_n=-1，数列{a_n}为等比数列，但log₂a_n为无意义，故②错误；
③依题意，a₁=2+a，a₂=（2²+a）-（2+a）=2，a₃=（2³+a）-（2²+a）=4，
∵a₁，a₂，a₃成等比数列，
∴a22=a₁•a₃，即4=4（2+a），解得a=-1．故③正确；
④∵S_n+1=a₁+qS_n，
∴S_n+2=a₁+qS_n+1，
两式相减得：a_n+2=qa_n+1，即

an+2

an+1

=q；
又S₂=a₁+a₂=a₁+a₁q，
∴

a2

a1

=q，
∴{a_n}是等比数列，故④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，突出考查等差数列与等比数列的通项公式与求和，考查转化思想与分析运算能力，属于难题．