Question

11、已知定义在R上的函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，g（x）=f（|x|）且g（1）=0，求使g（x）＜0成立的x的范围

（-1，1）

．

Answer 1

分析：根据g（x）=f（|x|）得到函数g（x）是偶函数，由函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，可知函数g（x）的单调性，把不等式g（x）＜0利用函数的单调性转化为自变量不等式，即可求得结果．

解答：解：∵g（x）=f（|x|），
∴函数g（x）是偶函数，且x≥0时，g（x）=f（x）
∵函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，
∴函数g（x）在[0，+∞）上为增函数，在（∞-，0）上为减函数，
又g（1）=0，
∴g（x）＜0?g（|x|）＜g（1）
∴|x|＜1，解得-1＜x＜1，
故答案为（-1，1）．

点评：此题是个中档题．考查函数的奇偶性和单调性的定义和函数图象的对称性，及根据函数的单调性转化不等式，体现了转化的思想方法．