Question

18、在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC₁⊥A₁C．有下列条件：
①AB=AC=BC；②AB⊥AC；③AB=AC．其中能成为BC₁⊥AB₁的充要条件的是（填上该条件的序号）

①③

．

Answer 1

分析：由题意，对所给的三个条件，结合在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，BC₁⊥A₁C．作出如图的图象，借助图象对BC₁⊥AB₁的充要条件进行研究

解答：解：若①AB=AC=BC，如图取M，N分别是B₁C₁，BC的中点，可得AM⊥BC，A₁N⊥B₁C₁，由直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，可得AM，A₁N都垂直于侧面B₁C₁BC，
由此知AM，A₁N都垂直于线BC₁，又BC₁⊥A₁C．结合图形知BC₁⊥CN
又由M，N是中点及直三棱柱的性质知B₁M∥CN，故可得BC₁⊥B₁M，
再结合AM垂直于线BC₁，及图形知BC₁⊥面AMB₁，
故有BC₁⊥AB₁，
故①能成为BC₁⊥AB₁的充要条件
同理③也可
对于条件②，其不能证得BC₁⊥AB₁，故不为BC₁⊥AB₁的充要条件
综上①③符合题意
故答案为①③

点评：本题考查空间中直线与直线之间的位置关系，解题的关键是构造图形证明线面垂直从而证明线线垂直．利用线面垂直证明线线垂直是立体几何中证明线线垂直常用的方法．