Question

已知函数，
（1）求f（x）的值域；
（2）如果当x∈[2，5]时，f（x）≥g（x）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：（1）∵x＞0，∴f（x）==x+-6≥2-6，当且仅当x=时取等号，
所以函数f（x）的值域为[2-6，+∞）．
（2）当x∈[2，5]时，f（x）≥g（x）恒成立，即x²-6x+3≥m，x∈[2，5]恒成立，
又x²-6x+3=（x-3）²-6≥-6，
所以-6≥m，即实数m的取值范围为（-∞，-6]．
分析：（1）f（x）==x+-6，利用基本不等式即可求出其最小值，从而得到其值域；
（2）当x∈[2，5]时，f（x）≥g（x）恒成立，等价于x²-6x+3≥m，x∈[2，5]恒成立，从而转化为求x²-6x+3的最小值问题．
点评：本题考查基本不等式的应用及函数恒成立问题，运用基本不等式求最值要注意使用条件：一正、二定、三相等．