Question

19．数列{a_n}中a₁=1，a_n+1=2a_n+2．
（1）求证：数列{a_n+2}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=n（a_n+2），求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）将数列递推式两边同时加上2，化简后再作商可得数列{a_n+2}是等比数列，从而可求出数列{a_n}的通项公式，
（2）根据错位相减法求和即可．

解答 解：（1）由题意知a_n+1=2a_n+2，则a_n+1+2=2a_n+4=2（a_n+2），
∵a₁=1，
∴a₁+2=3，
∴数列{a_n+2}是以3为首项，以2为公比的等比数列，
∴a_n+2=3×2^n-1，
则a_n=3×2^n-1-2，
（2）b_n=n（a_n+2）=3n×2^n-1，
∴$\frac{1}{3}$T_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1，
∴$\frac{2}{3}$T_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）2^n-1+n×2ⁿ，
∴-$\frac{1}{3}$T_n=1+2¹+2²+2³+…+2^n-1-n×2ⁿ=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n×2ⁿ=2ⁿ（1-n）-1，
∴T_n=2ⁿ（3n-3）+3．

点评 本题考查了构造新的等比数列求出通项问题，数列的递推公式为：a_n+1=Aa_n+B，其中A和B是常数，构造出 a_n+1+k=A（a_n+k）式子，再证明数列{a_n+k}是等比数列即可，以及错位相减法求和，属于中档题．