Question

20、已知函数f（x）=-e^x+kx+1，x∈R．
（I）若k=2e，试确定函数f（x）的单调区间；
（II）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＜1恒成立，试确定实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可知，要确定函数的单调区间，先求出函数的导函数，令其大于零求出函数的增区间；令其小于零求出函数的减区间即可；
（II）判断得出f（|x|）是偶函数，关于y轴对称．f（|x|）＜1成立其实就是f（x）＜1对任意x≥0成立，由f'（x）=-e^x+k=0得x=lnk，讨论k的单调区间保证f（x）＜1对任意x≥0成立，最后确定出k的范围即可．

解答：解：（I）由k=2e得f（x）=-e^x+2ex所以f'（x）=-e^x+2e．
由f'（x）＞0得x＜ln2+1，故f（x）的单调递增区间是（-∞，1+1+ln2）
由f'（x）＜0得x＞ln2+1，故f（x）的单调递减区间是（1+ln2，+∞）
（II）由f（|-x|）=f（|x|）可知f（|x|）是偶函数．
于是f（|x|）＜1对任意x∈R成立等价于f（x）＜1对任意x≥0成立．
由f'（x）=-e^x+k=0得x=lnk．
①当k∈（0，1]时，f'（x）=-e^x+k＜-1+k≤0（x＞0）．此时f（x）在[0，+∞）上单调递减，故f（x）≤f（0）=0＜1，符合题意．
②当k∈（1，+∞）时，当x变化时f'（x），f（x）变化情况如下表：

由此可得，在[0，+∞）上，f（x）≤f（lnk）=-e^lnk+klnk+1．
依题意，-e^lnk+klnk+1＜1，又k＞1，∴1＜k＜e．
综合①，②得，实数k的取值范围是0＜k＜e．

点评：考查学生利用导数研究函数单调性的能力．利用导数研究函数极值的能力，函数恒成立的条件．