Question

如图1，E，F分别是矩形ABCD的边AB，CD的中点，G是EF上的一点，将△GAB，△GCD分别沿AB，CD翻折成△G₁AB，△G₂CD，并连接G₁G₂，使得平面G₁AB⊥平面ABCD，G₁G₂∥AD，且G₁G₂＜AD、连接BG₂，如图2．
（Ⅰ）证明：平面G₁AB⊥平面G₁ADG₂；
（Ⅱ）当AB=12，BC=25，EG=8时，求直线BG₂和平面G₁ADG₂所成的角．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由平面G₁AB⊥平面ABCD，得G₁E⊥平面ABCD，从而G₁E⊥AD、又由AB⊥AD，得出AD⊥平面G₁AB、从而证明平面G₁AB⊥平面G₁ADG₂；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，G₁E⊥平面ABCD、故可以建立以E为原点，分别以直线EB，EF，EG₁为x轴、y轴、z轴空间直角坐标系，先求得各点的坐标，再求得向量的坐标，再由线面角的向量公式求解．

解答：（Ⅰ）证明：因为平面G₁AB⊥平面ABCD，平面G₁AB∩平面ABCD=AB，G₁E⊥AB，G₁E?平面G₁AB，
所以G₁E⊥平面ABCD，从而G₁E⊥AD、又AB⊥AD，
所以AD⊥平面G₁AB、因为AD?平面G₁ADG₂，所以平面G₁AB⊥平面G₁ADG₂、

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，G₁E⊥平面ABCD、故可以E为原点，分别以直线EB，EF，EG₁
为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），
由题设AB=12，BC=25，EG=8，则EB=6，EF=25，EG₁=8，
相关各点的坐标分别是A（-6，0，0），D（-6，25，0），G₁（0，0，8），B（6，0，0）．
所以

AD

=(0，25，0)，

AG1

=(6，0，8)．
设

n

=(x，y，z)是平面G₁ADG₂的一个法向量，
由

n • AD =0 n • AG1 =0.

得

25y=0 6x+8z=0

故可取

n

=(4，0，-3)．
过点G₂作G₂O⊥平面ABCD于点O，因为G₂C=G₂D，所以OC=OD，
于是点O在y轴上．
因为G₁G₂∥AD，所以G₁G₂∥EF，G₂O=G₁E=8．
设G₂（0，m，8）（0＜m＜25），由17²=8²+（25-m）²，解得m=10，
所以

BG2

=(0，10，8)-(6，0，0)=(-6，10，8)．
设BG₂和平面G₁ADG₂所成的角是θ，则sinθ=

| BG2 • n |

| BG2 |•| n |

=

|-24-24|

62+102+82 • 42+32

=

12 2

25

．
故直线BG₂与平面G₁ADG₂所成的角是arcsin

12 2

25

．

点评：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化以及向量法解决空间角问题．