Question

设双曲线C：

y2

a2

-

x2

3

=1(a＞0)的两条渐近线l₁，l₂与以点（1，0）为圆心，

1

2

为半径的圆相切．
（I）求a的值；
（II）若双曲线C的两个焦点分别为F₁、F₂，A、B分别为l₁，l₂上的点，且2|AB|=3|F₁F₂|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线？

Answer 1

分析：（I）由题设知：l₁，l₂的方程为：y=±

a

3

x，由点到直线的距离公式得

a

a2+3

=

1

2

，由此能求出a的值．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x，y），由2|AB|=3|F₁F₂|，知|AB|=

3

2

|F1F2|  =

3

2

×2c=6

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=6，再由y1+y2=

3

3

(x1-x2)，y1-y2=

3

3

(x1+x2)，能求出线段AB的中点M的轨迹．

解答：解：（I）由题设知：l₁，l₂的方程为：y=±

a

3

x，
由点到直线的距离公式得

a

a2+3

=

1

2

，
∴a=1．
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点M（x，y），
∵2|AB|=3|F₁F₂|，
∴|AB|=

3

2

|F1F2|  =

3

2

×2c
=6

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=6，
又y1=

3

3

x1，y2=-

3

3

x2，2x=x₁+x₂，2y=y₁+y₂，
∴y1+y2=

3

3

(x1-x2)，y1-y2=

3

3

(x1+x2)，
∴

[ 3 (y1+y2)]2+[ 3 3 (x1+x2)]2

=6，
∴3(2y)2+

1

3

(2x)2=36，
即

x2

27

+

y2

3

=1，
所以M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为6

3

，短轴长为2

3

的椭圆．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．