【题目】已知椭圆:的一个焦点,点在椭圆上.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)直线平行于直线(坐标原点),且与椭圆交于,两个不同的点,若为钝角,求直线在轴上的截距的取值范围.
【答案】(Ⅰ) ; (Ⅱ)。
【解析】
(Ⅰ)由焦点坐标确定出c的值,根据椭圆的性质列出a与b的方程,再将M点坐标代入椭圆方程列出关于a与b的方程,联立求出a与b的值,确定出椭圆方程即可;
(Ⅱ)设直线l方程为,A(x1,y1)、B(x2,y2),联立l与椭圆方程,消去y得到关于x的一元二次方程,利用韦达定理表示出x1+x2与x1x2,根据∠AOB为钝角,得到0,即x1x2+y1y2<0,即可确定出m的范围;
(Ⅰ)由已知,则 ①
又点在椭圆上,
所以 ②
由①②解得(舍去),.
故椭圆的标准方程为.
(Ⅱ)由直线平行于得直线的斜率为,又在轴上的截距,
故的方程为.
由得,又线与椭圆交于,两个不同的点,
设,,则,.
所以,于是.
为钝角等价于,且,则,
即,又,
所以的取值范围为.
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【题目】已知椭圆C: 的右焦点为F(2,0),过点F的直线交椭圆于M、N两点且MN的中点坐标为 .
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设直线l不经过点P(0,b)且与C相交于A,B两点,若直线PA与直线PB的斜率的和为1,试判断直线 l是否经过定点,若经过定点,请求出该定点;若不经过定点,请给出理由.
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【题目】已知关于的二次函数,其中,为实数,事件为“函数在区间为增函数”.
(1)若为区间上的整数值随机数,为区间上的整数值随机数,求事件发生的概率;
(2)若为区间上的均匀随机数,为区间上的均匀随机数,求事件发生的概率.
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【题目】现有甲、乙、丙、丁、戌5人参加社区志愿者服务活动,每人从事团购、体温测量、进出人员信息登记、司机四项工作之一,每项工作至少有一人参加.若甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戌都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是( )
A.234B.152C.126D.108
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【题目】已知从甲地到乙地的公路里程约为240(单位:km).某汽车每小时耗油量Q(单位:L)与速度x(单位:)()的关系近似符合以下两种函数模型中的一种(假定速度大小恒定):①,②,经多次检验得到以下一组数据:
x | 0 | 40 | 60 | 120 |
Q | 0 | 20 |
(1)你认为哪一个是符合实际的函数模型,请说明理由;
(2)从甲地到乙地,这辆车应以多少速度行驶才能使总耗油量最少?
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【题目】设函数f(x)的定义域为R.若存在与x无关的正常数M,使|f(x)|≤ M|x|对一切实数x均成立,则称f(x)为有界泛函.则函数:① f(x)=-3x,② f(x)=x2,③ f(x)=sin2x,④ f(x)=2x,⑤ f(x)=xcosx中,属于有界泛函的有____________.(填上所有正确的番号)
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