Question

13．若等差数列{a_n}的公差为d，前n项和为S_n，记b_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$，则（　　）

• A． 数列{b_n}是等差数列，{b_n}的公差也为d
• B． 数列{b_n}是等差数列，{b_n}的公差为2d
• C． 数列{a_n+b_n}是等差数列，{a_n+b_n}的公差为d
• D． 数列{a_n-b_n}是等差数列，{a_n-b_n}的公差为$\frac{d}{2}$

Answer 1

分析 证明b_n是等差数列．求出公差，然后依次对个选项判断即可

解答 解：设等差数列{a_n}的公差为d，${S}_{n}=n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d$．
b_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$=${a}_{1}+\frac{n-1}{2}d$．
b_n-b_n-1═${a}_{1}+\frac{n-1}{2}d$-${a}_{1}-\frac{n-2}{2}d$=$\frac{d}{2}$（常数）．
故得b_n的公差为$\frac{d}{2}$，∴A，B不对．
数列{a_n+b_n}是等差数列，{a_n+b_n}的公差为d+$\frac{d}{2}$=$\frac{3}{2}d$，∴C不对．
数列{a_n-b_n}是等差数列，{a_n-b_n}的公差为d-$\frac{d}{2}$=$\frac{d}{2}$，∴D对．
故选D

点评 本题考查了等差数列的定义证明和判断．属于基础题．