Question

已知函数f（x）=

x 3 ，x∈[0， 1 2 ] 2x3 x+1 ，x∈( 1 2 ，1]

，函数g（x）=ax-

a

2

+3（a＞0），若对任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，

1

2

]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、[6，+∞）
• B、[-4，+∞）
• C、（-∞，6]
• D、（-∞，-4]

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：分别求出f（x）在[0，1]的值域A，以及g（x）在[0，

1

2

]的值域B，对任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，

1

2

]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，考虑A是B的子集，得到a的关系式，解出即可．

解答： 解：∵函数f（x）=

x 3 ，x∈[0， 1 2 ] 2x3 x+1 ，x∈( 1 2 ，1]

，
∴当0≤x≤

1

2

时，y的范围是[0，

1

6

]；
当

1

2

＜x≤1时，y′=2•

3x2(x+1)-x3

(x+1)2

=

2(2x3+3x2)

(x+1)2

＞0，
故（

1

2

，1]为增区间，y的范围是（

1

6

，1]．
∴函数f（x）的值域为[0，1]，
∵函数g（x）=ax-

a

2

+3（a＞0），
∴x∈[0，

1

2

]，y∈[3-

a

2

，3]，
∵对任意x₁∈[0，1]，总存在x₂∈[0，

1

2

]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
∴[0，1]⊆[3-

a

2

，3]，即有3-

a

2

≤0，即a≥6．
∴a的取值范围是[6，+∞）．
故选：A．

点评：本题考查分段函数的值域，函数的单调性及运用，同时考查任意的，总存在的类型的解法，注意转化为求函数的值域，以及?的包含关系，本题属于中档题．