【题目】有名学生排成一排,求分别满足下列条件的排法种数,要求列式并给出计算结果.
(1)甲不在两端;
(2)甲、乙相邻;
(3)甲、乙、丙三人两两不得相邻;
(4)甲不在排头,乙不在排尾。
【答案】(1)30240(2)10080(3)14400(4)30960
【解析】
(1)先把甲安排到中间6个位置的一个,再对剩下位置全排列;
(2)把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素,再和另外6人全排列;
(3)把甲乙丙3人插入到另外5人排列后所形成的6个空中的三个空,结合公式求解;
(4)可采用间接法得到;
(1)假设8个人对应8个空位,甲不站两端,有6个位置可选,则其他7个人对应7个位置,故有:种情况
(2)把甲乙两人捆绑在一起看作一个复合元素,再和另外6人全排列,故有种情况;
(3)把甲乙丙3人插入到另外5人排列后所形成的6个空中的三个空,故有种情况;
(4)利用间接法,用总的情况数减去甲在排头、乙在排尾的情况数,再加上甲在排头同时乙在排尾的情况,故有种情况
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【题目】部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形,由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形,沿三角形的三边中点连线,将它分成4个小三角形,去掉中间的那一个小三角形后,对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形,如图.
现在上述图(3)中随机选取一个点,则此点取自阴影部分的概率为( )
A. B. C. D.
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【题目】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.
(1) 证明:PB∥平面AEC
(2) 设二面角D-AE-C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E-ACD的体积
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【题目】设函数f(x)=|x﹣a|+3x,其中a>0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>3x+2的解集;
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤﹣1},求a的值.
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【题目】如图,在三棱锥中,是边长为2的正三角形,,E、F、H分别为AP、AB、AC的中点,PF交BE于点M,CF交BH于点N,,.
求证:平面BEH;
求证:;
求直线PA与平面ABC所成角的正弦值.
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【题目】随着计算机的出现,图标被赋予了新的含义,又有了新的用武之地.在计算机应用领域,图标成了具有明确指代含义的计算机图形.如图所示的图标是一种被称之为“黑白太阳”的图标,该图标共分为3部分.第一部分为外部的八个全等的矩形,每一个矩形的长为3、宽为1;第二部分为圆环部分,大圆半径为3,小圆半径为2;第三部分为圆环内部的白色区域.在整个“黑白太阳”图标中随机取一点,则此点取自图标第三部分的概率为( )
A. B. C. D.
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【题目】已知椭圆C:的左、右顶点分别为A,B,离心率为,点P(1,)为椭圆上一点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)如图,过点C(0,1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M,N两点,记直线AM的斜率为k1,直线BN的斜率为k2,若k1=2k2,求直线l斜率的值.
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