Question

16．已知等差数列{a_n}，首项a₁＞0，a₂₀₁₁+a₂₀₁₂＞0，a₂₀₁₁•a₂₀₁₂＜0，则使数列{a_n}的前n项和S_n＞0成立的最大正整数n是（　　）

• A． 2011
• B． 2012
• C． 4023
• D． 4022

Answer 1

分析 由题意可得a₂₀₁₁＞0，a₂₀₁₂ ＜0，a₂₀₁₁＞|a₂₀₁₂|，判断出数列的单调性和数列中项的正负，可得a₁+a₄₀₂₂=a₂₀₁₁+a₂₀₁₂＞0，a₁+a₄₀₂₃=a₂₀₁₁+a₂₀₁₃ =2a₂₀₁₂＜0，再由等差数列的前n项和公式可得S₄₀₂₂＞0，S₄₀₂₃＜0，由此得到结论．

解答 解：∵等差数列{a_n}中，a₁＞0，a₂₀₁₁+a₂₀₁₂＞0，a₂₀₁₁•a₂₀₁₂＜0，
∴a₂₀₁₁＞0，a₂₀₁₂ ＜0，a₂₀₁₁＞|a₂₀₁₂|，
即等差数列{a_n}首项是正数、公差小于零的递减数列，
则前2011项大于零，从2012项起都小于零，
∴a₁+a₄₀₂₂=a₂₀₁₁+a₂₀₁₂＞0，a₁+a₄₀₂₃=a₂₀₁₁+a₂₀₁₃ =2a₂₀₁₂ ＜0，
∴S₄₀₂₂ =$\frac{4022（{a}_{1}+{a}_{4022}）}{2}$＞0，S₄₀₂₃ =$\frac{4023（{a}_{1}+{a}_{4023}）}{2}$＜0，
则使S_n＞0成立的n的最大值为4022，
故选：D．

点评 本题考查等差数列的性质，等差数列的单调性，以及等差数列的前n项和公式的灵活应用，属于中档题．