Question

11．已知f（x）=x²-1，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{x-1（x≥0）}\\{2-x（x＜0）}\end{array}\right.$．求f[g（x）]和g[f（x）]．

Answer 1

分析 已知f（x）=x²-1，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}x-1（x≥0）\\ 2-x（x＜0）\end{array}\right.$，需要分类讨论，再利用整体法进行代入求解；

解答 解：∵f（x）=x²-1，g（x）=$\left\{\begin{array}{l}x-1（x≥0）\\ 2-x（x＜0）\end{array}\right.$，
若x≥0，可得g（x）=x-1，可得f[g（x）]=（x-1）²-1=x²-2x；
若x＜0，可得g（x）=2-x，可得f[g（x）]=（2-x）²-1=x²-4x+3；
∴f[g（x）]=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-2x，（x≥0）\\{x}^{2}-4x+3，（x＜0）\end{array}\right.$；
∵f（x）=x²-1≥-1，
若x≥1或x≤-1，可得x²-1≥0，
∴g[f（x）]=x²-1-1=x²-2；
若-1＜x＜1，可得x²-1＜0，
∴g[f（x）]=2-（x²-1）=-x²+3；
∴g[f（x）]=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-2，（x≥1或x≤-1）\\{-x}^{2}+3，（-1＜x＜1）\end{array}\right.$；

点评 此题主要考查函数的解析式的求解问题，整体法是一个常用的方法，是一道基础题；