Question

已知二次函数f（x）=x²+ax+b，若关于x的不等式f（x）＜0的解集为{x|2＜x＜6}．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x＞0时，不等式f（x）-mx＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据题意，可以得到2和6为关于x的方程x²+ax+b=0的两根，根据韦达定理列出关于a和b的方程组，解出a和b，即可得到f（x）的解析式；
（2）将不等式f（x）-mx＞0对x＞0时恒成立，利用参变量分离法转化为m＜x+

12

x

-8，进而求最值，即可求得实数m的取值范围．

解答：解：（1）∵关于x的不等式f（x）＜0的解集为{x|2＜x＜6}，且f（x）=x²+ax+b，
∴2和6是关于x的方程x²+ax+b=0的两根，
∴

2+6=-a 2×6=b

，解得a=-8，b=12，
∴解析式为f（x）=x²-8x+12；
（2）∵不等式f（x）-mx＞0对x＞0时恒成立，
∴m＜x+

12

x

-8对x＞0时恒成立，即m＜(x+

12

x

-8)min，
∵当x＞0时，x+

12

x

≥4

3

，当且仅当x=

12

x

，即x=2

3

时取等号，
∴(x+

12

x

-8)min=4

3

-8，
∴m＜4

3

-8，
∴实数m的取值范围是 (-∞，4

3

-8)．

点评：本题考查了求函数的解析式，求解析式一般选用待定系数法、换元法、配凑法、消元法等．本题还考查了一元二次不等式的解法，函数恒成立问题，对于函数恒成立问题一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法求解．属于中档题．