Question

如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．
（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；
（Ⅱ）求证；AE∥平面BFD；
（Ⅲ）求三棱锥C-BGF的体积．

Answer 1

分析：（1）先证明AE⊥BC，再证AE⊥BF，由线面垂直的判定定理证明结论．
（2）利用F、G为边长的中点证明FG∥AE，由线面平行的判定定理证明结论．
（3）运用等体积法，先证FG⊥平面BCF，把原来的三棱锥的底换成面BCF，则高就是FG，代入体积公式求三棱锥的体积．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，则AE⊥BC．又∵BF⊥平面ACE，则AE⊥BF
∴AE⊥平面BCE．（4分）
（Ⅱ）证明：依题意可知：G是AC中点，
∵BF⊥平面ACE，则CE⊥BF，而BC=BE，∴F是EC中点．（6分）
在△AEC中，FG∥AE，∴AE∥平面BFD．（8分）
（Ⅲ）解：∵AE∥平面BFD，∴AE∥FG，而AE⊥平面BCE，
∴FG⊥平面BCE，∴FG⊥平面BCF，（10分）
∵G是AC中点，∴F是CE中点，且FG=

1

2

AE=1，
∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE．∴Rt△BCE中，BF=CF=

1

2

CE=

2

．
∴S△CFB=

1

2

•

2

•

2

=1，（12分）∴VC-BFG=VG-BCF=

1

3

•S△CFB•FG=

1

3

（14分）

点评：本题考查线面平行与垂直的证明方法，利用等体积法求三棱锥的体积．