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已知函数(a为实常数).
(Ⅰ)当a=1时,求函数g(x)=f(x)-2x的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在区间(0,2)上无极值,求a的取值范围;
(Ⅲ)已知n∈N*且n≥3,求证:
【答案】分析:(Ⅰ)求出函数定义域,当a=1时求出g′(x),只需解不等式g′(x)>0,g′(x)<0即可.
(Ⅱ)函数f(x)在区间(0,2)上无极值,则f′(x)≥0或f′(x)≤0,由此即可求出a的取值范围.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当a=1时,f(x)在(0,+∞)上的最大值为f(1)=0,得f(x)=≤0,即ln,令x=适当变形即可证明.
解答:解:(I)当a=1时,,其定义域为(0,+∞),g′(x)=-2+=,,
令g′(x)>0,并结合定义域知; 令g′(x)<0,并结合定义域知
故g(x)的单调增区间为(0,);单调减区间为
(II)
(1)当f′(x)≤0即a≤x在x∈(0,2)上恒成立时,a≤0,此时f(x)在(0,2)上单调递减,无极值;
(2)当f′(x)≥0即a≥x在x∈(0,2)上恒成立时,a≥2,此时f(x)在(0,2)上单调递增,无极值.
综上所述,a的取值范围为(-∞,0]∪[2,+∞).
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当a=1时,f′(x)=,当x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减,
∴f(x)=在x=1处取得最大值0.
即f(x)=1-
,令x=(0<x<1),则,即ln(n+1)-lnn
∴ln=ln(n+1)-ln3=[ln(n+1)-lnn]+[lnn-ln(n-1)]+…+(ln4-ln3)


点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数最值问题,考查了运用知识解决问题的能力.
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