Question

【题目】如图：设一正方形纸片ABCD边长为2分米，切去阴影部分所示的四个全等的等腰三角形，剩余为一个正方形和四个全等的等腰三角形，沿虚线折起，恰好能做成一个正四棱锥（粘接损耗不计），图中，O为正四棱锥底面中心．

（Ⅰ）若正四棱锥的棱长都相等，求这个正四棱锥的体积Ｖ；

（Ⅱ）设等腰三角形APQ的底角为x，试把正四棱锥的侧面积S表示为x的函数，并求S的范围．

Answer 1

【答案】（1）立方分米（2）平方分米

【解析】试题分析: （I）若正四棱锥的棱长都相等，则在正方形ABCD中，三角形APQ为等边三角形，由此先计算出此正四棱锥的棱长，再利用正棱锥的性质计算其体积即可；

（II）先利用等腰三角形APQ的底角为x的特点，将侧棱长和底边长分别表示为x的函数，再利用棱锥的体积计算公式将棱锥体积表示为关于x的函数，最后可利用均值定理求函数的值域

试题解析：

（Ⅰ）设正四棱锥底面边长为y分米，由条件知△APQ为等边三角形，

又，∴．

∵，∴．

由，即得．

∴ .

答：这个正四棱锥的体积是立方分米

（Ⅱ）设正四棱锥底面边长为y，则．

由，即得．

∴即为所求表达式．

∵，∴，

令，则，

由对恒成立知函数在上为减函数．

（或者分子、分母同时除以，利用“对勾函数”进行说明）

∴平方分米即为所求侧面积的范围．