Question

(满分12分)已知点，直线： 交轴于点，点是上的动点，过点垂直于的直线与线段的垂直平分线交于点．
（Ⅰ）求点的轨迹的方程；（Ⅱ）若 A、B为轨迹上的两个动点，且 证明直线AB必过一定点，并求出该定点．

Answer 1

(1) ；(2)见解析。

试题分析：(1) 根据线段垂直平分线的定义所以点P到F的距离等于到直线的距离.
所以,点P的轨迹是以F为焦点, 为准线的抛物线,且,,
所以所求的轨迹方程为             －－－－－－－－－3分
(2) 设，直线AB的方程为…………….5分 
代入到抛物线方程整理得 则
根据韦达定理，即，            …………8分


即，解得m=2，                  …………11分
显然，不论为何值，直线AB恒过定点．       ………………12分
点评：求轨迹方程的方法较多，首先应考虑定义法，即利用常见曲线的定义，从条件出发确定几何元素。直线与圆锥曲线的位置关系问题，韦达定理常常用到。