Question

（2013•成都二模）如图，在直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，AC=AA₁=2AB=2，∠BAC=90°，点D是侧棱CC₁ 延长线上一点，EF是平面ABD与平面A₁B₁C₁的交线．
（I）求证：EF丄A₁C；
（II）当直线BD与平面ABC所成角的正弦值为

3 14

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时，求三棱锥D-EFC₁的体积．

Answer 1

分析：（I）利用面面平行的性质，可得EF∥AB，再证明AB⊥平面ACC₁A₁，可得AB⊥A₁C，从而可得结论；
（II）利用直线BD与平面ABC所成角的正弦值为

3 14

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，求出CD，再利用体积公式，即可得到结论．

解答：（I）证明：由题意，平面ABC∥平面A₁B₁C₁，
∵平面ABC∩平面ABD=AB，平面A₁B₁C₁∩平面ABD=EF
∴EF∥AB
∵直三棱柱（侧棱与底面垂直的三棱柱）ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=90°，
∴AB⊥AA₁，AB⊥AC
∵AA₁∩AC=A
∴AB⊥平面ACC₁A₁
∵A₁C?平面ACC₁A₁
∴AB⊥A₁C
∴EF丄A₁C；
（II）解：当直线BD与平面ABC所成角的正弦值为

3 14

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时，CD=3
∴DC₁=1
∴S△EFC1=

1

2

×

2

3

×

1

3

=

1

9

∴VD-EFC1=

1

3

×

1

9

=

1

27

．

点评：本题考查面面平行的性质，考查线面垂直的判定，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．