Question

已知复数z是关于x的实系数一元二次方程x²+mx+25=0的一个根，同时复数z满足关系式|z|+z=8+4i．
（1）求|z|的值及复数z；
（2）求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）直接设出复数z，利用复数相等对应实部和实部相等，虚部和虚部相等解方程即可求出|z|的值及复数z；
（2）因为方程两根之积为25，所以

.

z

也是原方程的一根，再结合（1）的结论和一元二次方程的根的分布与系数的关系即可求出实数m的值．

解答：解：（1）设z=a+bi，

a2+b2

+a+bi=8+4i
则

a2+b2 +a=8 b=4

得

a=3 b=4

所以：z=3+4i，|z|=5
（2）因为方程两根之积为25，所以

.

z

也是原方程的一根，且

.

z

=3-4i
所以z+

.

z

═-m
故：m=-6．

点评：本题第一问中涉及到复数相等．复数相等的对应结论是实部和实部相等，虚部和虚部相等．