Question

若二项式(x

x

-

1

x

)6的展开式中第5项的值是5，则x=

 

，此时

lim

n→∞

(

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

)=

 

．

Answer 1

分析：利用二项展开式的通项公式求得第r+1项，令r=4得第五项，列方程解得x．
利用等比数列的求和公式化简极限值．

解答：解：(x

x

-

1

x

)6的展开式的通项为Tr+1=

C

r 6

(x

x

)6-r(-

1

x

)r=(-1)r

C

r 6

x

18-5r

2

令r=4得T₅=C₆⁴x^-1=15x^-1
∴15x^-1=5
∴x=3
∴

lim

n→∞

(

1

x

+

1

x2

+…+

1

xn

)=

lim

n→∞

(

1

3

+

1

32

+…+

1

3n

)=

lim

n→∞

1

2

(1-

1

3n

)=

1

2

故答案为3，

1

2

点评：本题考查二项展开式的通项公式求二项展开式的特定项；等比数列的前n项和公式．