Question

3．已知二次函数f（x）的两个零点分别为$\frac{b}{1-a}$，$\frac{b}{1+a}$（0＜b＜a+1），f（0）=b²．定义card（A）：集合A中的元素个数，若“$\left\{\begin{array}{l}x∈A\\ card（A∩Z）=4\end{array}\right.$”是“f（x）＞0”的充要条件，则实数a的取值范围是（1，2）．

Answer 1

分析 由已知中“$\left\{\begin{array}{l}x∈A\\ card（A∩Z）=4\end{array}\right.$”是“f（x）＞0”的充要条件，可得f（x）＞0的解集中仅有4个整数，进而由二次函数f（x）的两个零点分别为$\frac{b}{1-a}$，$\frac{b}{1+a}$（0＜b＜a+1），f（0）=b²．可得$\frac{b}{1-a}$∈[-4，-3），利用线性规划可求出实数a的取值范围．

解答 解：∵二次函数f（x）的两个零点分别为$\frac{b}{1-a}$，$\frac{b}{1+a}$（0＜b＜a+1），f（0）=b²．
∴函数f（x）=（1-a²）x²-2bx+b²，
若“$\left\{\begin{array}{l}x∈A\\ card（A∩Z）=4\end{array}\right.$”是“f（x）＞0”的充要条件，
则f（x）＞0的解集中仅有4个整数，
故f（x）＞0的解集为（$\frac{b}{1-a}$，$\frac{b}{1+a}$），即1-a²＜0，
又由0＜b＜a+1，可得：a＞-1，且$\frac{b}{1+a}$∈（0，1），
故a＞1，且$\frac{b}{1-a}$∈[-4，-3），
如下图所示：

故a∈（1，2），
故答案为：（1，2）

点评 本题考查的知识点是充要条件，集合元素的个数，二次函数的图象和性质，线性规划，是集合，函数，不等式的综合应用，难度较大，属于难题．