Question

【题目】已知二次函数f（x）满足f（-x-1）=f（x-1），其图象过点（0，1），且与x轴有唯一交点。

（1）求f（x）的解析式；

（2）设函数g（x）=f（x）-（2+a）x，求g（x）在[1，2]上的最小值h（a）。

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法设，依题意过点可得，由对称轴可得，由图象与轴有唯一交点零点可得，解出方程组可得函数解析式；（2）结合（1）可得函数的对称轴为，利用分类讨论思想分为，和三种情形，得到函数单调性，故可得其最值.

试题解析：（1）设二次函数的解析式为，因为，所以函数对称轴为。

因为图象过点，所以，因为函数的图象与轴有唯一交点，所以，所以，，，所以.

（2），函数图象对称轴为，且开口向上，

当时，即时，函数在上单调递增，所以；

当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以；当即时，函数在上单调递减，

所以，所以h（a）=