【题目】已知数列、,其中, ,数列满足,,数列满足.
(1)求数列、的通项公式;
(2)是否存在自然数,使得对于任意有恒成立?若存在,求出的最小值;
(3)若数列满足,求数列的前项和.
【答案】(1);(2)存在, ;(3).
【解析】试题分析:
(1)根据题设条件用累乘法能够求出数列{an}的通项公式.b1=2,bn+1=2bn可知{bn}是首项为2,公比为2的等比数列,由此能求出{bn}的通项公式.(2)bn=2n.假设存在自然数m,满足条件,先求出,将问题转化成可求得的取值范围;(3)分n是奇数、n是偶数两种情况求出Tn,然后写成分段函数的形式。
试题解析:
(1)由,即.
又,所以
.
当时,上式成立,
因为,所以是首项为2,公比为2的等比数列,
故.
(2) 由(1)知,则
.
假设存在自然数,使得对于任意有恒成立,即恒成立,由,解得.
所以存在自然数,使得对于任意有恒成立,此时, 的最小值为16.
(3)当为奇数时,
;
当为偶数时,
.
因此.
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【题目】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示,根据图象:
(1)写出函数f(x),x∈R的增区间并将图象补充完整;
(2)写出函数f(x),x∈R的解析式;
(3)若函数g(x)=f(x)﹣4ax+2,x∈[1,3],求函数g(x)的最小值.
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【题目】已知函数f(x)=bax(a>0,且a≠1,b∈R)的图象经过点A(1,6),B(3,24).
(1)设g(x)= ﹣ ,确定函数g(x)的奇偶性;
(2)若对任意x∈(﹣∞,1],不等式( )x≥2m+1恒成立,求实数m的取值范围.
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【题目】把正方形AA1B1B以边AA1所在直线为轴旋转900到正方形AA1C1C,其中D,E,F分别为B1A,C1C,BC的中点.
(1)求证:DE∥平面ABC;
(2)求证:B1F⊥平面AEF;
(3)求二面角A﹣EB1﹣F的大小.
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【题目】某商品最近30天的价格f(t)(元)与时间t满足关系式:f(t)= ,且知销售量g(t)与时间t满足关系式 g(t)=﹣t+30,(0≤t≤30,t∈N+),求该商品的日销售额的最大值.
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