Question

椭圆C的中心为坐标原点O，点A₁，A₂分别是椭圆的左、右顶点，B为椭圆的上顶点，一个焦点为F（，0），离心率为．点M是椭圆C上在第一象限内的一个动点，直线A₁M与y轴交于点P，直线A₂M与y轴交于点Q．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）若把直线MA₁，MA₂的斜率分别记作k₁，k₂，求证：k₁k₂=-；
（III） 是否存在点M使|PB|=|BQ|，若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）设椭圆C的方程为（a＞b＞0），由焦点F可求得c值，由离心率可得a值，由b²=a²-c²即可求得b值；
（II）由（I）写出A₁、点A₂的坐标，设动点M的坐标为（x，y），由题意可知0＜x＜2，y＞0，根据斜率公式可表示出k₁，k₂，进而表示出k₁k₂，再由点M在椭圆上，可消掉k₁k₂中的y，从而可证；
（III） 分别设直线MA₁的方程为y=k₁（x+2），直线MA₂的方程为y=k₂（x-2），易求点P、Q的坐标，由椭圆方程写出B点坐标，从而PB|=|BQ|可表示为k₁，k₂的方程，与k₁k₂=-联立可求得k₂，从而可求得直线MA₂的方程，进而可求得点M坐标，注意检验直线MA₂是否满足条件；
解答：（I）解：由题意，可设椭圆C的方程为（a＞b＞0），则c=，，
所以a=2，b²=a²-c²=1，
所以椭圆C的方程为=1．
（II）证明：由椭圆C的方程可知，点A₁的坐标为（-2，0），点A₂的坐标为（2，0），
设动点M的坐标为（x，y），由题意可知0＜x＜2，y＞0，
直线MA₁的斜率＞0，直线MA₂的斜率＜0，
所以，
因为点M（x，y）在椭圆=1上，
所以，即，
所以k₁k₂==-；
（III）设直线MA₁的方程为y=k₁（x+2），令x=0，得y=2k₁，所以点P的坐标为（0，2k₁），
设直线MA₂的方程为y=k₂（x-2），令x=0，得y=-2k₂，所以点Q的坐标为（0，-2k₂），
由椭圆方程可知，点B的坐标为（0，1），
由|PB|=|BQ|，得，
由题意，可得1-2k₁=（-2k₂-1），
整理得4k₁-2k₂=3，与k₁k₂=-联立，消k₁可得2+3k₂+1=0，
解得k₂=-1或，
所以直线MA₂的直线方程为y=-（x-2）或y=-（x-2），
因为y=-（x-2）与椭圆交于上顶点，不符合题意．
把y=-（x-2）代入椭圆方程，得5x²-16x+12=0，
解得x=或2，
因为0＜x＜2，所以点M的坐标为（）．
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线斜率及椭圆方程的求解，考查学生对问题的探究能力解决问题的能力，综合性较强，难度较大．