Question

11．已知函数f（x）=ax³+bx²（x∈R）的图象过点P（-1，2），且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将P的坐标代入f（x）的解析式，得到关于a，b的一个等式；求出导函数，求出f′（1）即切线的斜率，利用垂直的两直线的斜率之积为-1，列出关于a，b的另一个等式，解方程组，求出a，b的值，即可求函数f（x）的解析式；
（2）求出 f′（x），令f′（x）＞0，求出函数的单调递增区间，据题意知[m，m+1]⊆（-∞，-2]∪[0，+∞），列出端点的大小，求出m的范围．

解答 解：（1）∵y=f（x）过点P（-1，2），且在点P处的切线恰好与直线x-3y=0垂直，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-a+b=2}\\{3a-2b=-3}\end{array}\right.$，
∴a=1，b=3，
∴f（x）=x³+3x²．
（2）由题意得：f′（x）=3x²+6x=3x（x+2）＞0，
解得x＞0或x＜-2．
故f（x）的单调递增为（-∞，-2]和[0，+∞）．
 即m+1≤-2或m≥0，
故m≤-3或m≥0．

点评 注意函数在切点处的导数值是曲线的切线斜率；直线垂直的充要条件是斜率之积为-1．