Question

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AA₁=c，AB=a，AD=b，a＞b，设异面直线AC₁与BD所成角为θ．求证：cosθ=

a2-b2

(a2+b2)(a2+b2+c2)

．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，

AC1

=（-b，a，c），

DB

=（b，a，0），由此能证明cosθ=

| AC1 ， DB |

| AC1 |•| BD |

=

a2-b2

(a2+b2)(a2+b2+c2)

．

解答： 证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
∵AA₁=c，AB=a，AD=b，a＞b，
∴A（b，0，0），C₁（0，a，c），B（b，a，0），D（0，0，0），

AC1

=（-b，a，c），

DB

=（b，a，0），
∵异面直线AC₁与BD所成角为θ，
∴cosθ=

| AC1 ， DB |

| AC1 |•| BD |

=

-b2+a2

a2+b2+c2 • a2+b2

∴cosθ=

a2-b2

(a2+b2)(a2+b2+c2)

．

点评：本题考查空间点、线、面的位置关系及学生的空间想象能力、求异面直线角的能力，解题时要注意向量法的合理运用．