Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为D₁C₁，B₁C₁的中点
（1）求证：D，B，F，E四点共面；
（2）AC∩BD=G，A₁C₁∩EF=N，A₁C交平面DBFE于M点，求证：G，N，M三点共线．

Answer 1

考点：平面的基本性质及推论

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得EF∥D₁B₁，BB₁∥DD₁、BB₁=DD₁，从而BB₁D₁D是平行四边形，从而EF∥DB，由此能证明D、B、F、E共面．
（2）由已知得EF是平面AA₁C₁C和平面DBFE的交线，R是EF是平面AA₁C₁C和平面DBFE的一个公共点，由此能证明P、Q、R三点共线．

解答： 证明：（1）∵E、F分别为C₁D₁，B₁C₁的中点，
∴EF是△B₁C₁D₁的中位线，
∴EF∥D₁B₁，
∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是正方体，
∴BB₁∥DD₁、BB₁=DD₁，
∴BB₁D₁D是平行四边形，
∴DB∥D₁B₁，
又由EF∥D₁B₁，
∴EF∥DB，
∴D、B、F、E共面．
（2）∵AC∩BD=G，A₁C₁∩EF=N，
∴GN是平面AA₁C₁C和平面DBFE的交线，
∵A₁C交平面DBFE于M点，
∴M是GN是平面AA₁C₁C和平面DBFE的一个公共点，
∵两相交平面的所有公共点都在这两平面的交线上，
∴G，N，M三点共线．

点评：本题考查四点共面的证明，考查三点共线的证明，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．