Question

设定义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），对任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，且f（1）=2．若对任意的x∈[-3，3]都有f（x）≤a，则实数a的取值范围为________．

Answer 1

[6，+∞）
分析：可通过赋值法得到f（x）为R上的奇函数，再利用函数单调性的定义分析得到f（x）为[-3，3]上的增函数，求得x∈[-3，3]时f（x）的最大值即可．
解答：∵义在R上的函数f（x）满足：对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（0+0）=2f（0），
∴f（0）=0；令y=-x，
f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴函数f（x）为R上的奇函数；
∵x∈（0，+∞），都有f（x）＞0，
∴当-3≤x₁＜x₂≤3时，
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在[-3，3]上是增函数，
又x∈（0，+∞）时，f（x）＞0，且f（1）=2，
∴f（3）=f（2）+f（1）=f（1）+f（1）+f（1）=6，由题意可得，x∈[-3，3]时，-6≤f（x）≤6，
又对任意的x∈[-3，3]都有f（x）≤a，
∴a≥6，即实数a的取值范围为[6，+∞）．
故答案为：[6，+∞）．
点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法的应用，得到f（x）为R上的奇函数是基础，判断f（x）在[-3，3]上是增函数是关键，属于中档题．