Question

14．如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，BD∩AC=G．
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求三棱锥E-ADC的体积．

Answer 1

分析 （1）由AD⊥平面ABE，AD∥BC，可得BC⊥平面ABE，得到AE⊥BC．再由BF⊥平面ACE，可得BF⊥AE，结合线面垂直的判定可得AE⊥平面BCE；
（2）取AB中点O，连结OE，由AE=EB，得OE⊥AB，再由AD⊥平面ABE，得OE⊥AD，进一步得到OE⊥平面ADC，然后求解直角三角形求得AB、OE的长度，代入棱锥体积公式得答案．

解答 （1）证明：∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE，
∵AE?平面ABE，
∴AE⊥BC．
又∵BF⊥平面ACE，
且AE?平面ACE，
∴BF⊥AE，
∵BC∩BF=B，
∴AE⊥平面BCE；
（2）解：取AB中点O，连结OE，∵AE=EB，∴OE⊥AB，
∵AD⊥平面ABE，∴OE⊥AD，得OE⊥平面ADC，
∵AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB，可得$AB=\sqrt{A{E^2}+B{E^2}}=2\sqrt{2}$，
∴$OE=\frac{1}{2}AB=\sqrt{2}$．
故三棱锥E-ADC的体积为：${V_{E-ADC}}=\frac{1}{3}{S_{△ADC}}•OE=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2\sqrt{2}×\sqrt{2}=\frac{4}{3}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了柱、锥、台体体积的求法，是中档题．