Question

已知，n∈N^*，试比较与的大小，并且说明理由．

Answer 1

【答案】分析：根据，我们易求出=，而，故可将比较与的大小，转化为比较2ⁿ与n²的大小．利用数学归纳法易证明结论．
解答：解：，
而，
∴与的大小等价于2ⁿ与n²的大小．
当n=1时，2¹＞1²；当n=2时，2²=2²；
当n=3时，2³＜3²；当n=4时，2⁴=4²；
当n=5时，2⁵＞5²．
猜想当n≥5时，2ⁿ＞n²．
以下用数学归纳法证明：
①当n=5时，由上可知不等式成立；
②假设n=k（k≥5）时，不等式成立，即2^k＞k²，则
当n=k+1时，2^k+1=2•2^k＞2k²，
又∵2k²-（k+1）²=（k-1）²-2＞0（∵k≥5），即2^k+1＞（k+1）²，
∴n=k+1时，不等式成立．
综合①②对n≥5，n∈N^*不等式2ⁿ＞n²成立．
∴当n=1或n≥5时，；
当n=3时，；
当n=2或4时，．
点评：本题考查的知识点是数学归纳法及数的大小比较，数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立．