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【题目】已知函数.

(Ⅰ)当a=1时,写出的单调递增区间(不需写出推证过程);

(Ⅱ)当x>0时,若直线y=4与函数的图像交于A,B两点,记,求的最大值;

(Ⅲ)若关于x的方程在区间(1,2)上有两个不同的实数根,求实数a的取值范围.

【答案】(1)递增区间为; (2)4; (3).

【解析】

(Ⅰ)当时,,由此能求出的单调递增区间;

(Ⅱ)由,得当时,y=fx)的图象与直线y=4没有交点;当a=4a=0时,y=fx)的图象与直线y=4只有一个交点;当时,;当时,由,得,由,得,由此能求出的最大值;

(Ⅲ)要使关于x的方程有两个不同的实数根,则,且,根据,且进行分类讨论能求出的取值范围.

(Ⅰ)fx)的单调递增区间为.

(Ⅱ)因为x>0,所以(i)当a>4时,yfx)的图像与直线y=4没有交点;

ii)当a=4或a=0时,yfx)的图像与直线y=4只有一个交点;

iii)当0<a<4时,0<ga)<4;

(iv)当a<0时,由

,

解得

解得.

所以.

的最大值是4.

(Ⅲ)要使关于x的方程 (*)

有两个不同的实数根,则.

i)当a>1时,由(*)得

所以,不符合题意;

ii)当0<a<4时,由(*)得,其对称轴,不符合题意;

iii)当a<0,且a-1时,由(*)得

又因,所以a<-1.

所以函数是增函数,

要使直线与函数图像在(1,2)内有两个交点,

只需

解得.

综上所述,a的取值范围为.

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