Question

已知函数f（x）的定义域D=（-∞，0）∪（0，+∞），且对于任意x₁，x₂∈D，均有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时，f（x）＞0；
（1）求f（1）与f（-1）的值；             
（2）判断函数的奇偶性并证明；
（3）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（4）若f（4）=1，解不等式f（3x+1）≤2．

Answer 1

分析：（1）令x₁=x₂=1，代入f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）可得f（1）=0；再令x₁=x₂=-1，代入题中的条件可得f（-1）=0．
（2）令x₁=x，x₂=-1，并且结合（1）中的结论可得答案．
（3）设x₁，x₂∈（0，+∞），并且x₁＜x₂，结合题中条件可得：f（

x2

x1

）＞0，再由f（x₂）=f(

x2

x1

•x1)可得答案．
（4）由题意可得：f（16）=2，则有：f（3x+1）≤f（16），再根据函数为偶函数可得：f（|3x+1|）≤f（16），
进而结合函数的单调性可得答案．

解答：解：（1）令x₁=x₂=1，代入f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）可得f（1）=0；
令x₁=x₂=-1，则有f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1）-f（1）=0，解得：f（-1）=0．
（2）令x₁=x，x₂=-1，则有f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），即f（-x）=f（x），
所以函数f（x）是偶函数．
（3）设x₁，x₂∈（0，+∞），并且x₁＜x₂，则有

x2

x1

＞1，f（

x2

x1

）＞0，
所以f（x₂）=f(

x2

x1

•x1)=f(

x2

x1

)+f(x1)＞f(x1)，
所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（4）由题意可得：f（16）=f（4×4）=2f（4）=2，
所以由f（3x+1）≤2可得：f（3x+1）≤f（16），
因为函数f（x）为偶函数，
所以有f（-x）=f（x）=f（|x|），即f（|3x+1|）≤f（16），
又因为函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，
所以|3x+1|≤16，并且3x+1≠0，
解得：[-

17

3

，-

1

3

)∪(-

1

3

，5]．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握抽象函数的性质，如求函数值、单调性、奇偶性等性质，以及利用有关的性质解不等式，证明或者判断抽象函数的奇偶性或者求函数值时一般利用赋值的方法解决，此题属于中档题，高考考查的热点之一．