Question

已知函数f（x）=2x³-

1

2

x²+m（m为常数）的图象上A点处的切线与直线x+y+3=0垂直，则点A的横坐标为（　　）

• A、

  1

  2

• B、-

  1

  3

• C、

  1

  2

  或-

  1

  3

• D、1或

  1

  6

Answer 1

分析：先根据切线与已知直线垂直，求出该切线的斜率为1，再利用导数的几何意义解方程f′（x）=0，求解出x的值，即为所求的点A的横坐标．

解答：解：设点A（x₀，y₀）
∵直线x+y+3=0斜率是-1，并且切线与直线x+y+3=0垂直
∴函数f（x）过点A处的切线的斜率是1．
根据导数的几何意义得知，f′（x₀）=6x₀²-x₀=1，
解方程，得x₀=

1

2

或x₀=-

1

3

故选C．

点评：本题是考查两个常见考点：①互相垂直的两个直线的斜率之积为-1；②切线的斜率等于导数在切点处的函数值．该题将两个知识点完美结合，属于中档题．