Question

10．已知cosα=$\frac{1}{3}$，α∈（-$\frac{π}{2}$，0）．
（1）求cos（$\frac{π}{3}$-α）和sin（$\frac{π}{6}$+α）的值；
（2）如果钝角β的终边过点P（-2$\sqrt{2}$，1），求α+β的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函数基本关系公式，可得sinα，结合两角差的余弦公式，及诱导公式可得答案；
（2）求出钝角β的三角函数值，求出α+β的余弦，可得答案．

解答 解：（1）∵cosα=$\frac{1}{3}$，α∈（-$\frac{π}{2}$，0）．
∴sinα=-$\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos（$\frac{π}{3}$-α）=cos$\frac{π}{3}$cosα+sin$\frac{π}{3}$sinα=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$=$\frac{1-2\sqrt{6}}{6}$，
sin（$\frac{π}{6}$+α）=sin[$\frac{π}{2}$-（$\frac{π}{3}$-α）]=cos（$\frac{π}{3}$-α）=$\frac{1-2\sqrt{6}}{6}$，
（2）钝角β∈（$\frac{π}{2}$，π），则α+β∈（0，π），
∵钝角β的终边过点P（-2$\sqrt{2}$，1），
∴r=3，
∴sinβ=$\frac{1}{3}$，cosβ=-$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=-$\frac{1}{3}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}$×$\frac{1}{3}$=0，
∴α+β=$\frac{π}{2}$．

点评 本题考查的知识点是同角三角函数基本关系公式，两角和与差的余弦公式，诱导公式，三角函数的定义，难度中档．