Question

集合A是由具备下列性质的函数f（x）组成的：
①函数f（x）的定义域是[0，+∞）；
②函数f（x）的值域是[-2，4）；
③函数f（x）在[0，+∞）上是增函数，试分别探究下列两小题：
（1）判断函数f1(x)=

x

-2(x≥0)及f2(x)=4-6•(

1

2

)x(x≥0)是否属于集合A？并简要说明理由；
（2）对于（1）中你认为属于集合A的函数f（x），不等式f（x）+f（x+2）＜2f（x+1）是否对于任意的x≥0恒成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由已知可得函数f1(x)=

x

-2(x≥0)的值域[-2，+∞），从而可得f₁（x）∉A，对于f₂（x），只要分别判断函数定义域是否满足条件①，值域是否满足条件②，单调性是否满足条件③，即可得答案；
（2）由（1）知，f₂（x）属于集合A．原不等式为4-6•(

1

2

)x+4-6•(

1

2

)x+2＜2[4-6•(

1

2

)(x+1)]，通过整理不等式可判断．

解答：解：（1）∵函数f1(x)=

x

-2(x≥0)的值域[-2，+∞）
∴f₁（x）∉A
对于f₂（x），定义域为[0，+∞），满足条件①．
而由x≥0知(

1

2

)x∈(0，1]，∴4-6(

1

2

)x∈[-2，4)，满足条件②
又∵0＜

1

2

＜1，
∴u=(

1

2

)x在[0，+∞）上是减函数．
∴f₂（x）在[0，+∞）上是增函数，满足条件③
∴f₂（x）属于集合A．
（2）f₂（x）属于集合A，原不等式4-6•(

1

2

)x+4-6•(

1

2

)x+2＜2[4-6•(

1

2

)(x+1)]对任意x≥0总成立
证明：由（1）知，f₂（x）属于集合A．
∴原不等式为4-6•(

1

2

)x+4-6•(

1

2

)x+2＜2[4-6•(

1

2

)(x+1)]
整理为：-

3

2

•(

1

2

)x＜0．
∵对任意x≥0，(

1

2

)x＞0，
∴原不等式对任意x≥0总成立

点评：本题以新定义为载体，综合考查函数的定义域、值域、复合函数的单调性的求解及判断，属于函数知识的综合应用，解题的关键是正确运用新定义的三个条件．