Question

已知椭圆方程为x²+

y2

8

=1，射线y=2

2

x（x≥0）与椭圆的交点为M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M）．
（1）求证直线AB的斜率为定值；
（2）求△AMB面积的最大值．

Answer 1

分析：（1）设k＞0，求得M的坐标，则可表示出AM的直线方程和BM的直线方程，分别与椭圆的方程联立求得x_A和x_B，进而求得AB的斜率．
（2）设出直线AB的方程与椭圆方程联立消去y，利用判别式大于0求得m的范围，进而表示出三角形AMB的面积，利用m的范围确定面积的最大值．

解答：解：（1）∵斜率k存在，不妨设k＞0，求出M（

2

2

，2），
直线MA方程为y-2=k（x-

2

2

），直线MB方程为y-2=-k（x-

2

2

）．
分别与椭圆方程联立，可解出x_A=

2 k2-4k

k2+8

-

2

2

，x_B=

2 k2+4k

k2+8

-

2

2

．
则y_A=2-k（x-

2

2

），y_B=2+k（x-

2

2

），
k_AB=

yA-yB

xA-xB

=2

2

；
∴k_AB=2

2

（定值）．
（2）设直线AB方程为y=2

2

x+m，与x²+

y2

8

=1联立，消去y得16x²+4

2

mx+（m²-8）=0
由△＞0得-4＜m＜4，且m≠0，点M到AB的距离d=

|m|

3

．
设△AMB的面积为S．∴S²=

1

4

|AB|²d²=

1

32

m²（16-m²）≤

1

32

•(

16

2

)2=2．
当m=±2

2

时，得S_max=

2

．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生分析问题和解决问题的能力．