Question

2．△ABC是边长为2的正三角形，已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足$\overrightarrow{AB}$=2$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，给出下列四个结论．
①|$\overrightarrow{b}$|=1，②$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=-1③$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$④（4$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）⊥$\overrightarrow{BC}$
其中正确结论的序号是②④．

Answer 1

分析 先画出图形，由条件即可得出$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{BC}$，从而判断出①错误，求得$\overrightarrow{a}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$，进行数量积的运算即可求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值，然后可求得$（4\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{BC}=0$，这样即可判断④正确．

解答 解：如图，
根据条件：
$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{b}$；
∴$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$；
∴$|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{BC}|=2$，
$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}×2×2×（-\frac{1}{2}）=-1$；
∵$4\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$；
∴$（4\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）•\overrightarrow{BC}=（2\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}）•\overrightarrow{BC}$=$2\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}+{\overrightarrow{BC}}^{2}=-4+4=0$；
∴$（4\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）⊥\overrightarrow{BC}$；
∴正确的序号为：②④．
故答案为：②④．

点评 考查向量的数乘运算，向量的数量积运算及计算公式，以及向量垂直的充要条件．