Question

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为

x=1- 3 2 t y= 1 2 t

（t为参数），取与直角坐标系xOy相同的长度单位，且以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的圆心是（

2

，

π

4

），半径r=

2

．
（1）求直线l的普通方程和圆C的极坐标方程；
（2）若直线l与圆C相交于A、B两点，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）由

x=1- 3 2 t y= 1 2 t

消去x即可得到直线的直角坐标方程，化圆的圆心的极坐标为直角坐标，写出圆的直角坐标方程，然后结合x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得到圆C的极坐标方程；
（2）联立直线与圆的方程，得4y²-2y-1=0，设出A，B的坐标，利用弦长公式求得|AB|，再由点到直线的距离公式求出C到AB的距离，代入三角形的面积公式得答案．

解答： 解：（1）由

x=1- 3 2 t y= 1 2 t

，得x+

3

y-1=0；
圆C的圆心是（

2

，

π

4

），即（

2

cos

π

4

，

2

sin

π

4

）=（1，1），
半径为

2

，则圆的方程为（x-1）²+（y-1）²=2，也就是x²+y²-2x-2y=0，
由x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴圆C的极坐标方程是ρ²-2ρcosθ-2ρsinθ=0，即ρ=2（cosθ+sinθ）；
（2）联立

x+ 3 y-1=0 (x-1)2+(y-1)2=2

，得4y²-2y-1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则y1+y2=

1

2

，y1y2=-

1

4

．
∴|AB|=

1+3

•

( 1 2 )2-4(- 1 4 )

=

5

．
点C到直线AB的距离d=

|1+ 3 -1|

12+( 3 )2

=

3

2

．
∴S△ABC=

1

2

×

5

×

3

2

=

15

4

．

点评：本题考查了参数方程化普通方程，考查了直角坐标方程化极坐标方程，训练了弦长公式的应用，考查了点到直线的距离公式，是中档题．