Question

【题目】已知抛物线的焦点为，其准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于，两点.

（1）求抛物线的方程及的值；

（2）若点关于轴的对称点为，证明：存在实数，使得.

Answer 1

【答案】（1），4；（2）证明见解析.

【解析】

（1）根据准线上点的坐标，得到，求出，即可得到抛物线方程；设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，由韦达定理，即可求出；

（2）先由（1）得，由点关于轴的对称点为，得到，根据题意，证明直线恒过定点，再令，由，即可推出结论成立.

（1）解：因为抛物线的准线与轴交于点，

所以，

解得.

所以抛物线的方程为.

设直线的方程为，

联立

整理得，其中，

即.

故.

（2）证明：由（1）知，

因为点关于轴的对称点为，

所以，

则直线的方程为，

得，

得，

得，

即.

令，得，

得，

所以直线恒过定点.

所以点在线段上，

所以不妨令.

因为，

所以，

所以，

所以.

所以存在实数，使得，命题得证.