Question

平面内与两定点A₁（-a，0）、A₂（a，0）（a>0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A₁、A₂两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线。
（1）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；
（2）当m=-1时，对应的曲线为C₁：对给定的m∈（-1， 0）∪（0，+∞），对应的曲线为C₂。设F₁、F₂是C₂的两个焦点。试问：在C₁上，是否存在点N，使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²。若存在，求tanF₁NF₂的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解：（1）设动点为M，其坐标为（x，y），
当x≠±a时，由条件可得
即mx²-y²=ma²（x≠±a），
又A₁（-a，0）、A₂（a，0）的坐标满足mx²-y²=ma²，
故依题意，曲线C的方程为mx²-y²=ma²
当m＜-1时，曲线C的方程为
C是焦点在y轴上的椭圆；
当m=-1时，曲线C的方程为x²+y²=a²，C是圆心在原点的圆；
当-1＜m＜0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；
当m>0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线。
（2）由（1）知，当m=-1时，C₁的方程为x²+y²=a²；
当m∈（-1，0）∪（0，+∞）时，C₂的两个焦点分别为
对于给定的m∈（-1，0）∪（0，+∞），C₁上存在点N（x₀，y₀）（y₀≠0）使得S=|m|a²的充要条件是

由①得0＜|y₀|≤a，由②得
当，即或时
存在点N，使S=|m|a²
当即或时，
不存在满足条件的点N。
当时
由，-y₀）
可得
令
则由
可得
从而
于是由S=|m|a²
可得，即
综上可得：当时，在C₁上，存在点N，使得S=|m|·a²，且tanF₁NF₂=2；
当时，在C₁上，存在点N，使得S=|m|·a²，且tanF₁NF2=-2；
当时，在C₁上，不存在满足条件的点N。