Question

己知向量

a

=(sin

x

3

，cos

x

3

)，

b

=(cos

x

3

，

3

cos

x

3

)，函数f(x)=

a

•

b

．
（1）求f（x）的最小正周期和单调减区间；
（2）如果△ABC的三边a、b、c满足b²=ac，且边b所对的角为x，试求此时函数f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）根据函数f(x)=

a

•

b

进而利用两角和公式化简整理求得f（x）=sin(

2x

3

+

π

3

)+

3

2

进而根据正弦函数的周期性求得最小正周期．进而根据正弦函数的单调性求得其单调减区间．
（2）把b²=ac代入余弦定理求得cosx的值，进而根据x的范围求得sin(

2x

3

+

π

3

)的范围，进而确定函数的最大和最小值，求得函数的值域．

解答：解：（1）f(x)=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

(1+cos

2x

3

 )
=

1

2

sin

2x

3

+

3

2

cos

2x

3

+

3

2

=sin(

2x

3

+

π

3

)+

3

2

T=

2π

2 3

=3π
令

π

2

+2kπ≤

2x

3

+

π

3

≤

3π

2

+2kπ
∴

π

4

+3kπ≤x≤

7π

4

+3kπ
单调原函数的减区间为[

π

4

+3kπ，

7π

4

+3kπ]k∈z

（2）由已知b²=ac
cosx=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

∴

1

2

≤cosx＜1，0＜x≤

π

3

，

π

3

＜

2x

3

+

π

3

≤

5π

9

∵|

π

3

-

π

2

|＞|

5π

9

-

π

2

|，
∴sin

π

3

＜sin(

2x

3

+

π

3

)≤1≤1，
∴

3

＜sin(

2x

3

+

π

3

)+

3

2

≤1+

3

2

．
即f（x）的值域为(

3

，1+

3

2

]．

点评：本题主要考查了正弦函数的单调性，周期性和值域问题．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．