Question

【题目】如图，在四棱锥 中， 底面 ， ， ．

（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）试在棱 上确定一点 ，使截面 把该几何体分成的两部分 与 的体积比为 ；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角 的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：∵ ，

∴ ．

∵ 平面 ， 平面 ，

∴ ．

∵ ，

∴ 平面 ．

∵ 平面 ，

∴平面 平面 ．

（Ⅱ）解：作 于 点，

∵在 中， ，

∴ ．

∴ 平面 ．

设 ，

则 ．

．

由 ，得 ，解得 ．

，故 为 的中点．

（Ⅲ）解：连接 、 ， 与 交于点 ，连接 ，

由（Ⅱ）可知 平面 ，所以 ．

∵ 为正方形，

∴ ．

∵ ，

∴ 平面 ，故 ．

∴ 是二面角 的平面角．

由 平面 ，可知平面 平面 ．

∴二面角 与二面角 互余．

设二面角 的平面角为 ，则 ，

在 中， ，

，

所以二面角 的余弦值为 ．

【解析】（1）只需证明DCAD，DCPA即可；（2）过点E作EFAB，则EFPA，设EF=h，根据棱锥体积公式分别求出VP-ABCD和VE-ABC，则VPDCEA=VP-ABCD-VE-ABC，根据它们的体积之比可求出h 从而可确定点E的位置；（3）由题意可知二面角E—AC—B与二面角E—AC—P互余，因此二面角E—AC—B的正弦值即为二面角E—AC—P的余弦值.
【考点精析】本题主要考查了平面与平面垂直的判定的相关知识点，需要掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直才能正确解答此题．